Historyk, badacz dziejów Litwy.

Absolwent Uniwersytetu Jagiellońskiego. W 1905 r. obronił pracę doktorską Rola polityczna Antoniego Tyzenhauza. Następnie wyjechał do Rzymu jako stypendysta Akademii Umiejętności. W 1906 r. zamieszkał w Wilnie, pracując jako nauczyciel języka polskiego w rosyjskich gimnazjach. W 1907 r. był współzałożycielem a później prezesem Wileńskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk.

Był jednym z organizatorów Uniwersytetu Stefana Batorego w Wilnie (1919). W 1923 r. objął kierownictwo utworzonej Katedry Historii Polski na Uniwersytecie Stefana Batorego. Był odtąd profesorem nadzwyczajnym, zaś od 1937 r. profesorem zwyczajnym. Jego pracę w Wilnie przerwała II wojna światowa. Kościałkowski został aresztowany w gmachu Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Wilnie w czerwcu 1941 r. i wywieziony za Ural do łagru. Uwolniony, wraz z armią Andersa, udał się do Teheranu. Tam kierował: Towarzystwem Studiów Irańskich i Polsko – Irańskim Uniwersytetem Ludowym. W 1945 r. przeniósł się do Bejrutu w Libanie będącym podówczas dużym ośrodkiem uniwersyteckim studiującej polskiej młodzieży. Tam kierował jako dyrektor Polskim Instytutem Naukowym i dwuletnim Studium Pedagogicznym. W 1950 r. udał się do Anglii, gdzie był seniorem Społeczności Akademickiej USB oraz profesorem na Polskim Uniwersytecie na Obczyźnie w Londynie (od 1951 r.). Uczył języka polskiego i literatury oraz historii Polski w starszych klasach gimnazjum sióstr Nazaretanek w Pitsford koło Northampton w środkowej Anglii. Jego zainteresowania naukowe koncentrowały się przede wszystkim na historii Wielkiego Księstwa Litewskiego. Do uczniów Stanisława Kościałkowskiego należeli m.in.: Aleksy Deruga, Antoni Gołubiew, Paweł Jasienica, Lucjan Krawiec, Witold Nowodworski, Jerzy Orda, Maria Puciatowa, Bogumił Zwolski, Wanda Zwolska, Leonid Żytkowicz.